数学比严格重要,兼论关于数学的三个境界

译自陶哲轩的博客

三个境界:
前严格,大学低年级之前
严格,大学高年级到研究生低年级
后严格,研究生高年级以及之后
你知道该怎样去严格地思考当然及其重要,但这只是给了你可以避免错误和消除误解的方法。但很不幸的是严格的思考常常产生我们不想看到的结果:基于直觉的想法,比如试探、基于经验判断而非严格逻辑的演绎、与其他学科(比如物理)的类比、总是被人批评说是“不严格”。人们常会放弃直觉而拘泥于严格,于是陷在第二个境界不能自拔。

严格的核心不是毁掉直觉,而是毁掉不好的直觉,澄清并深化好的直觉。只有把严格和直觉结合起来你才可以处理那些深奥的数学问题;你需要严格去精确地处理细节,需要直觉去用整体的眼光去指导细节。缺少任何一个,你只会在黑暗之中误打误撞(你当然可以得到建设性的进展,但显然非常低效)。所以你只要一适应严格的数学思维,就应该回归你的直觉并用新的思维方式检验并提纯他们,而不是把直觉抛弃。